Cách giải hệ phương trình?

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Khái niệm:
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù hợp.

Một số cách giải cơ bản:
1. Phương pháp thế,
1. Phương pháp đặt ẩn số phụ,
2. Phương pháp cộng,
3. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số,
4. Phương pháp dùng bất đẳng thức,
5. Phương pháp đánh giá,
6. Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:

1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau:
{x2−3xy+x+y=1(1)x2+y2=1(2)
Giải
Ta biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo ẩn x:
6x2+(1−3y)x+y−1=0
Ta tính biệt số delta của phương trình trên:
Δ=(1−3y)2−24(y−1)=(3y−5)2
Ta tìm dược nghiệm làx=y−12∨x=13
Thếx=13 vào (2)⇒y=±22√3
Thếx=y−12vào (2)⇒[=−34⇒x=−45y=1⇒x=0
Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(1;0),(−34;−45),(13;22√3),(13;−22√3)

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
{(y+1)(x+y+1)=3x2−4x+1(1)xy+x+1=x2(2)
Giải
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2).
Với x ≠ 0, từ (2) ta cóy+1=x2−1x. Thay vào (1) ta được:
x2x2−1x(x+x2−1x)=3x2−4x+1⇔(x2−1)(2x2−1)=(x−1)(3x−1)⇔(x−1)(2x3+2x2−x−1)=(x−1)(3x−1)⇔2x(x+2)(x−1)2=0⇔x=1∨x=−2(dox≠0)
–Vớix=1⇒y=−1, –Vớix=−2⇒y=52
Vậy hệ có nghiệm là(x;y)=(1;1),(−2;52)

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình:{x2+x+y2=7(1)xy−x+y=3(2)
Giải
Từ(2)⇒y=x+3x+1(x≠−1), thay vào (1) ta được:
2x4+5x3−2x2−7x+2=0⇔(x−1)(x+2)(2x2+3x−1)=0⇔⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢=1x=−2x=−3+17√4x=−3−17√4⇒{=1y=2∨{=−2y=−1∨⎧⎩⎨=−3+17√4y=1+17√2∨⎧⎩⎨=−3−17√4y=1−17√2
S={(1;2),(−2;−1),(−3+17−−√4;1+17−−√2),(−3−17−−√4;1+17−−√2)}